LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA

Standar Kompetensi :

Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

Kompetensi Dasar :

·    Memahami pernyataan dalam matematika dari ingkaran atau negasinya.

·         Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

·            Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan.

·      Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah.

MATERI:

 

A.  Pernyataan , kalimat terbuka, dan ingkaran pernyataan.

1.   Pernyataan

    Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.

    Contoh :

a.   Hasil kali 5 dan 4 adalah 20

b.   Semua unggas dapat terbang

c.   Ada bilangan prima yang genap

    Contoh a dan c adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan b penyataan yang bernilai salah.

Contoh kalimat yang bukan pernyataan :

a.   Semoga nanti engkau naik kelas

b.   Tolong tutupkan pintu itu

c.   Apakah ali sudah makan ?

Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dsb.

Misalnya :

P : Semua bilangan prima adalah ganjil

q : Jakarta ibukota Indonesia

Ada 2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran suatun pernyataan yaitu :

a.   Dasar empiris : jka nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan pada saat tertentu.

Contoh :

* Rambut adik panjang

* Besok pagi cuaca cerah

b. Dasar tidak empiris : jka nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah atau hukum tertentu. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat.

    Contoh :

    * Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180⁰

    * Tugu muda terletak di kota Semarang

Tugas I

Diantara kalimat berikut manakah yang merupakan pernyataan, jika pernyataan tentukan nilai kebenarannya.

1.   Salah satu faktor prima dari 36 adalah 6

2.   Jajar genjang adalah segi empat yang sisinya sama panjang

3.   Bolehkah aku main ke rumahmu ?

4.   x merupakan bilangan prima

5.   Tahun 2006 merupakan tahun kabisat

2.   Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaraanya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel.

Contoh :

a.   2x + 3 = 9

b.   5 + n adalah bilangan prima

c.   Kota A adalah ibukota provinsi jawa tengah

3.   Ingkaran dari pernyataan

Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula.

Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “ bukan p” atau “tidak p”.

Tabel kebenarannya sbb :

p	~ p
B	S
S	B

Contoh :

a.   p     : Ayah pergi ke pasar

~ p  : Ayah tidak pergi ke pasar

b. q      : 2 + 5 < 10

    ~ q  : 2 + 5  10

Tugas II

Tentukan ingkaran / negasi dari pernyataan berikut :

1.   17 adalah bilangan prima

2.   3 adalah faktor dari 38

3.   5 x 12 > 40

4.   Adikku pandai bermain gitar

5.   Diagonal ruang kubus ada 4 buah.

B.  Pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas

Ada 2 macam kuantor, yaitu :

1.   Kuantor Universal

Dalam pernytaan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan (dibaca untuk semua atau untuk setiap)

Contoh :

* x  R, x² > 0,  dibaca untuk setiap x anggota bilangan Real maka berlaku x² > 0.

* Semua ikan bernafas dengan insang.

2.  Kuantor Eksistensial

Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan  ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian)

Contoh :

*   x  R, x² + 3x – 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real dimana x² + 3x – 10 < 0

*  Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru

Ingkaran dari pernyataan berkuantor

Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal.

Contoh :

a.      p  : Semua ikan bernafas dengan insang

    ~ p  : Ada ikan bernafas tidak dengan insang

           : Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru

           : Tidak semua ikan bernafas dengan insang

b.     q   : Beberapa siswa SMA malas belajar

     ~ q  : Semua siswa SMA tidak malas belajar

Tugas III

Tentukan ingkaran pernyataan berikut :

1.   Setiap bilangan prima merupakan bilangan ganjil

2.   x  R ; x² + 5x – 6 = 0

3.    x  R ; x² + 4x – 5 > 0

4.   Ada siswa yang tidak menyenangi pelajaran matematika

5.   Semua segitiga jumlah sudutnya 180⁰

C.  Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung.

Ada 4 macam pernyataan majemuk :

1.   Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan  yang dibaca p dan q

Tabel kebenarannya :

p	q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Dari tabel tersebut tampak bahwa konjungsi selalu bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.

Contoh :

p  :  3⁴ = 51       bernilai salah

q  : 2 + 5 = 7     bernilai benar

  : 3⁴ = 51 dan 2 + 5 = 7    bernilai salah

2.   Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.

Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikandan dibaca p atau q

Tabel kebenarannya :

p	q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Dari tabel tampak bahwa disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.

Contoh :

P : jumlah dari 2 dan 5 adalah 7      (pernyataan bernilai benar)

q : Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai salah)

 : Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di Jakarta  (pernyataan bernilai benar)

Tugas IV

1.   Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :

a.   2 + 1 = 3 dan 2 adalah bilangan prima

b.   37 adalah bilangan prima dan ada bilangan prima yang genap

c.   Semua unggas dapat terbang atau grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola

d.   Log 5 merupakan bilangan irasional atau 3 + 5 = 8

2.   Jika p : Adik naik kelas

          q : Adik dibelikan sepeda motor

    Nyatakan dengan pernyataan majemuk :

a.   p  q

b.   p  q

c.   ~ p  q

d.   ~ (p  q)

3.   Buatlah tabel kebenaran dari :

a.   (pq) v (~pq)

b.   [~(p v q) ] q

4.   Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika .... maka .......”

Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p  q yang dibaca “jika p maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat perlu bagi q” atau “q syarat cukup bagi p”

Dari implikasi p  q, p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa

q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.

Tabel kebenarannya :

p	q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Dari tabel tersebut, tampak bahwa implikasi selalu bernilai salah jika sebabnya benar dan akibatnya salah.

Contoh :

P : 5 + 4 = 7                        (pernyataan salah)

q : Indonesia di benua eropa  (pernyatan salah)

p  q : Jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar)

5.  Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “.......jika dan hanya jika............” dan dilambangkan .

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p  q yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.

Tabel kebenarannya :

p	Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Dari tabel kebenaran tersebut, tampak bahwa biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya bernilai sama.

Contoh :

p : 3 + 10 =14                 (pernyataan salah)

q : Persegi adalah segitiga (pernyataan salah)

p  q :  3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga (pernyataan salah)

Tugas V

1.   Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut :

a.   Jika besi termasuk benda padat maka 3 + 5 = 9

b.   Jika cos 30 = 0,5 maka sin 60 = 0,5

c.   Tugu nuda terletak di Surabaya jika dan hanya jika Tugu muda terletak di Semarang.

d.    > 2 jika dan hanya jika 33 bilangan prima

2.   Jika p : Adi menyenangi boneka

          q  : 5 + 3 < 10

    Nyatakan dalam bentuk pernyataan :

a.   p  q

b.   p  q

c.   ~ p  q

d.   p  ~ q

3.   Buatlah tabel kebenaran :

a.   (p  q)  ( p  ~ q)

b.   (~ p  q)  ( p  q)

D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari implikasi p  q dapat dibentuk implikasi baru :

1.   q  p  disebut konvers dari implikasi semula

2.   ~ p  ~ q disebut invers dari implikasi semula

3.   ~ q  ~ p disebut kontraposisi dari implikasi semula

Contoh :

p : Tia penyanyi

q : Tia seniman

implikasi p  q  : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman

Konvers  q  p  : Jika Tia seniman maka Tia penyanyi

Invers ~ p  ~ q : Jika Tia bukan penyanyi maka Tia bukan seniman

Kontraposisi ~ q  ~ p : Jika Tia bukan seniman maka Tia bukan penyanyi

E. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah

Contoh : Buktikan bahwa:  p  q   (p  q)  (q  p)

Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :

p	q	p  q	p  q	q  p	(p  q) (q  p)
B	B	B	B	B	B
B	S	S	S	B	S
S	B	S	B	S	S
S	S	B	B	B	B

                                        Ekuivalen

F.  NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK

1. ~ (p  q)    ~ p v ~ q

2. ~ (p v q)     ~ p  ~ q

3. ~ (p  q)      p  ~ q

4. ~ (p  q)    (p  ~ q)  v (q ~ p)

Contoh :

1.   Negasi dari 5 + 2 = 8 dan adik naik kelas adalah 5 + 2  8 atau adik tidak naik kelas

2.   Negasi dari jika adik belajar maka ia pandai adalah adik belajar dan ia tidak pandai

G.  TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Contoh :

Buktikan dengan tabel kebenaran (p~q)  ~(pq)

p	q	~q	p  ~q	p  q	~(pq)	(p~q)~(p q)
B	B	S	S	B	S	B
B	S	B	B	S	B	B
S	B	S	S	B	S	B
S	S	B	S	B	S	B

TUGAS  VI

1.   Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut :

a.   Jika hujan maka jalan basah

b.   Jika skit maka Ani ke sekolah

c.   Jika x = 2 maka  > 1

2.   Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa :

[p v (q  r)]  [(p v q)  (p v r)]

3.  Tentukan negasi dari pernyataan berikut :

    a. Harga mobil mahal atau Sungai Brantas di jawa Tengah

    b. Segitiga ABC siku-siku jika dan hanya jika salah satu sudutnya 90⁰

    c. p v (q  r)

    d. p  (q  r)

4. Tentukan dengan tabel kebenaran pernyataan berikut yang merupakan tautologi dan kontradiksi

    a. (p  q)  (p v q)

    b. (p  ~q)  (~p  ~q)

H.  PENARIKAN KESIMPULAN

Argumen adalah serangkaian pernyataan yang mempunyai ungkapan penarikan kesimpulan. Suatu argumen terdiri dari 2 kelompok pernyataan yaitu kelompok premis dan kelompok konklusi.

Contoh :

Premis 1 : Jika adik rajin belajar maka naik kelas

Premis 2 : Jika adik naik kelas maka Ibu senang

Premis 3 : Adik rajin belajar

 

Konklusi : Ibu senang

Suatu argumen dikatakan sah atau valid jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran premis-premisnya mendapatkan konklusi yang benar pula.

Ada 3 dasar penarikan kesimpulan yaitu :

1.   Modus Ponens

Kerangka penarikan modus ponens sebagai berikut :

Premis 1  : p  q

Premis 2  : p

 

    Konklusi  : q

    Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :

   

p	q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

    Pada tabel kebenaran tersebut, premis-premis yang bernilai benar diberi tanda        , ternyata mendapatkan konklusi yang diberi tanda

    Juga benar, sehingga penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponens dikatakan sah atau valid.

2.   Modus Tollens

Kerangka penarikan kesimpulan dengan dasar modus tollens sbb :

Premis 1 : p  q

Premis 2 : ~ q

 

Konklusi : ~ p

        Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :

       

p	q	~p	~q
B	B	S	S	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	B
S	S	B	B	B

        Berdasarkan tabel tersebut, penarikan kesimpulan dengan metode modus tollens dikatakan sah.

3.   Silogisme

Kerangka penarikan kesimpulan dengan metode silogisme sbb :

Premis 1 : p  q

Premis 2 : q  r

 

Konklusi : p  r

Dengan tabel kebenaran dapat dilihat sebagai berikut :

p	q	r
B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	B
B	S	S	S	B	S
S	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B

Pada tabel tersebut tampak bahwa penarikan kesimpulan dengan metode silogisme dikatakan sah atau valid.

        Contoh :

        Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini :

1.   Premis 1 : Jika sakit maka ibu minum obat

Premis 2 : Ibu sakit

 

Konklusinya : Ibu minum obat

2.   Premis 1 : Jika mesinnya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak

Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak

 

Konklusinya : Mesin mobil itu tidak rusak

3.   Premis 1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik

Premis 2 : Jika ongkos bis naik maka uang saku naik

 

Konklusinya : Jika BBM naik maka uang saku naik

   

   

Tugas VII

1.   Tentukan apakah penarikan kesimpulan berikut sah atau tidak

a. p  q

   q

 

    p

b.  p v q

     ~ q

 

     p

c.  p  ~q

    r  q

 

     p  ~r

d. Jika listrik padam maka mesin tidak jalan

    Jika mesin tidak jalan maka produksi berhenti

 

     Jika listrik padam maka produksi berhenti

e.   jika Jakarta di Jawa Tengah maka Surabaya ibukota Indonesia

Jika Surabaya ibukota Indonesia maka Bengawan Solo di Banten

 

 Jika Bengawan Solo tidak ada di Banten maka Jakarta tidak ada di Jawa Tengah

2.   Tentukan kesimpulannya

a.   Jika makan rujak maka Ani sakit perut

    Ani makan rujak

b.  Jika PSIS menang maka panser biru senang

    Jika panser biru senang maka Semarang ramai

c.  Jika Inul bernyanyi maka penonton bergoyang

    Penonton tidak bergoyang