FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
A. Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk
umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ¹
0
a, b dan c adalah bilangan real.
1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a) memfaktorkan,
b) melengkapkan kuadrat sempurna,
c) menggunakan rumus.
2. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0 dapat
dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2)
= 0. Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar
(penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 – 4 x
+ 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x
+ 3 = 0 adalah 3 dan 1.
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2
= x – 2.
Jawab:
(x – 2)2 = x – 2
x2 – 4 x + 4 = x –
2
x2 – 5 x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 atau x – 2 = 0
x = 3
atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
Contoh 3 :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x
+ 6 = 0.
Jawab: 2 x2 + 7 x
+ 6 = 0
2 x2 + 4 x + 3 x + 6 =
0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x = –2
atau x = – 1
Jadi, penyelesaiannya adalah –2 dan –1.
3.
Menyelesaikan persamaan kuadrat
dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx
+ c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x
+ p)2 = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2
– 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2 – 6 x + 5 =
0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau
x – 3 = –2
x = 5
atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 – 8 x
+ 7 = 0.
Jawab: 2 x2 – 8 x + 7
= 0
2 x2 – 8 x + 8 – 1 = 0
2 x2 – 8 x + 8 = 1
2 (x2 – 4 x + 4) = 1
2 (x – 2)2 = 1
(x – 2)2 = ½
x – 2 = atau x – 2 = –
x = 2 + Ö2 atau x = 2 –Ö2
Jadi, penyelesaiannya adalah 2 + Ö2
dan 2 – Ö2.
4.
Menyelesaikan persamaan kuadrat
dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2
+ b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2
+ 7x – 30 = 0.
Jawab: x2 + 7x – 30 =
0
a = 1 , b = 7 , c = – 30
x = 3 atau x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.
Latihan 1
1. Tentukan penyelesaian persamaan
kuadrat berikut ini:
- Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!
- Salah satu akar x2 – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
- Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x2 + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!
- Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar
- x2 – 3x + 2 = 0 f. –2x2 + 8x – 9 = 0
- 3x2 – 9x = 0 g. –6x2 + 10xÖ3 – 9 = 0
- 6x2 – 13x + 6 = 0 h. x2 – 2xÖ3 – 1 = 0
- 5p2 + 3p + 2 = 0 i. x2 + x – 506 = 0
- 9x2 – 3x + 25 = 0 j. x2 – x + Ö2 = 2
- 2x – x(x + 3) = 0 c. (x – 3)2 + 2(x – 3) – 3 = 0
- (x – 3) (x + 2) – 2x2 + 12 = 0 d.
berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2.
Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!
B. Jenis-jenis
Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan
akar-akarnya , b2 – 4ac disebut diskriminan
(D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis
sebagai .Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung
dari nilai D.Apabila:
- D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .
- D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .
- D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan
jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
- x2 + 5 x + 2 = 0
- x2 – 10 x + 25 = 0
- 3 x2 – 4 x + 2 = 0
Jawab :
- x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5 , c =
2
D = b2 – 4ac = 52
– 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2
+ 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.
2. x2 – 10 x + 25 = 0
a = 1 , b = -10 , c = 25
D = b2 – 4ac = (-10)2
– 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena D = 0, maka persamaan x2
– 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.
3. 3 x2 – 4 x
+ 2 = 0
a = 3 , b = –4 , c =
2
D = b2 – 4ac = (-4)2
– 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3
x2 – 4 x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.
Latihan 2
- Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:
- x2 + 6x + 6 = 0
- x2 + 2x + 1 = 0
- 2x2 + 5x + 5 = 0
- –2x2 – 2x – 1 = 0
- 6t2 – 5t + 1 = 0
- 4c2 – 4c + 3 = 0
- Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!
- 4x2 + 8px + 1 = 0
- 4x2 – 4px + (4p – 3) = 0
- px2 – 3px + (2p + 1) = 0
- Persamaan x2 – 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
- Buktikan bahwa persamaan x2 – px – (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real berlainan!
- Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!
C. Jumlah
dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
- Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
ax2 + bx + c = 0
x2 + x + = 0
Karena x1 dan x2
merupakan akar-akar persamaan kuadrat.
Contoh:
Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0
adalah x1 dan x2. Dengan tanpa
menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
- x1 + x2 d.
- x1.x2 e. x13 + x23
- x12 + x22
Jawab:
x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1
, b = –3 , c = 4
a. x1 + x2 = 3
b. x1.x2 = 4
c. x12 + x22
= x12 + x22 + 2
x1.x2 – 2 x1.x2
= (x1 + x2)2
– 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e. (x1 + x2)3 = x13
+ 3 x12 x2 + 3 x1
x22 + x23
= x13 + 3 x1
x2 (x1 + x2) + x23
x13 + x23 = (x1
+ x2)3 – 3 x1 x2
(x1 + x2)
= 33 – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9
Latihan 3
- Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:
- Akar-akar persamaan x2 + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:
- Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 – (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.
- Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax2 – (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.
- Akar-akar persamaan x2 + ax + b = 0 adalah x1 dan x2.
- x2 – 5x + 7 = 0 d. bx2 + ax + c = 0
- 2x2 – 7 = 0 e.
- 4x2 – 3x = 0 f. (x – p)2 + (x – q)2 = p2 + q2
- p2 + q2
- (p + 2) (q + 2)
- (p – 2q) (q – 2p)
Tentukan hubungan antara a dan b jika
diketahui xi2 – x1x2
+ x22 = 5.
D.
Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan: v
menggunakan perkalian faktor, v menggunakan
jumlah dan hasilkali akar-akar.
a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan
perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2
+ p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai (x – x1)
(x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan
itu x1 dan x2. Dengan
demikian jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2
maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2)
= 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab: (x – x1) (x
– x2) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0.
Contoh 2:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya
dan !
Jawab: (x – ) (x – ) = 0
6 x2 – 2 x – 3 x + 1 =
0
6 x2 – 5 x + 1 = 0
b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan
hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan menggunakan x1 + x2
= – dan x1 x2 = , maka akan diperoleh
persamaan:
x2 – (x1 + x2)x
+ x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan
–3.
Jawab: x1 + x2
= -2 – 3 = – 5
x1 x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x
+ 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0.
c. Menyusun persamaan kuadrat yang
akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat
yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3
lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x2 – 2x
+ 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1
+ x2 = 2 , x1 x2
= 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p
dan q, maka p = x1 + 3 dan q
= x2 +3
p + q = (x1 + 3) + (x2 +
3)
p q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1 + x2 +
6
=
x1 x2 + 3(x1 + x2)
+ 9
= 2 + 6 =
8
= 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q
adalah x2 – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x
+ 18 = 0.
Contoh 2:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali
akar persamaan 2x2 – 3x + 1=0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x
+ 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan
kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2)
= 2
a b = 2x1 . 2x2 =
4x1 x2 = 4 . = 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 – (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2
– 3x + 2 = 0..
Latihan 4
- Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:
- Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah dan . Tentukan persamaan kuadratnya!
- Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 4x – 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- Diketahui persamaan 2x2 – 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- 1 dan 3
- 2 dan -4
- -1 dan -5
- –Ö2 dan 2Ö2
- (p + q) dan (p – q)
- (a + 1) dan (b + 1)
- (a– 3) dan (b– 3)
- 4a dan 4b
- –a dan –b
- (2a + 1) dan (2b + 1)
- a2 dan b2
- berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.
- kebalikan akar persamaan yang diketahui.
B.
Fungsi Kuadrat
1. Pengertian
Fungsi f
pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2
+ bx + c dengan a, b, dan c bilangan
real dan disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x)
= 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx +
c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai
pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi
f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x)
= x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
- nilai pembuat nol fungsi f
- nilai f untuk x = 0 , x = –2
Jawab:
- Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
(x –
7) (x + 1) = 0
x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat
nol fungsi f adalah 7 dan –1
- Untuk x = 0 maka f(0) = –7
x = –2 maka f(–2) = (–2)2
– 6 (–2) – 7 = 9
Contoh 2:
Tentukan
nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p
– 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.
Jawab :
Supaya
merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.
D = (p
– 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0
p2 – 2p – 35 = 0
(p –
7) (p + 5) = 0
p = 7 atau p
= –5
Jadi, agar
ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p =
7 atau p = –5.
Periksalah
jawaban itu.
2. Nilai
Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk
menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1)
f(x) = x2 – 2x – 3
= x2 – 2x + 1 – 4
=(x – 1)2 – 4
Bentuk
kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2
mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x
– 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.
Jadi, f(x)
= x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4
untuk x = 1.
2)
f(x) = –x2 + 4x + 5
= –x2 + 4x – 4 + 9
= –(x2 – 4x + 4) + 9
= –(x – 2)2 + 9
Nilai
terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan
demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 +
9 = 9.
Jadi, f(x)
= –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2
+ 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang
perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 + bx
+ c
Dengan
uraian di atas, diperoleh:
Fungsi
kuadrat f(x) = a x2 + b x + c
Untuk a
> 0, f mempunyai nilai minimum untuk
Untuk a
< 0, f mempunyai nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2
+ 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 + 4x + 7 , a =
2 , b = 4 , c = 7
Nilai minimum fungsi f = 5
Latihan 5
- Diketahui: f(x) = x2 – 4x – 6
Ditanya: a.
nilai pembuat nol fungsi
b. nilai f(x) , jika x = 0
c. f(2) , f(–1) , f(p)
2. Tentukan nilai minimum atau maksimum
dari fungsi berikut ini:
- Fungsi kuadrat f(x) = 2x2 – px + 3 mempunyai nilai minimum untuk x = 2. Hitunglah nilai minimum itu!
- Nilai maksimum f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3. Hitunglah nilai a !
- Selisih dua bilangan positif adalah 3. Tentukan kedua bilangan itu agar hasilkalinya minimum!
- Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3, dan mempunyai nilai 6 untuk x = 1. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!
1.
f(x) =
x2 + 4x + 4
2.
f(x) =
2x2 – 4x + 3
3.
f(x) =
–3 x2 + 12x – 8
4.
f(x) =
–7 + 12x – 3x2
5.
f(x) =
(2x + 1) (x =- 3)
6.
f(x) =
(2x – 1)2
- 3. Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik
fungsi kuadrat f : x ® y = a x2 + b
x + c grafiknya berbentuk parabola.
Gambar
7.1
Gambar 7.2
Perhatikan
Gambar 7.1 dan 7.2
- Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
- Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
- Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
- Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.
Cara melukis
grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:
1)
Titik potong grafik dengan sumbu-X.
Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut
diperoleh jika y = 0, maka
a x2 + b x + c = 0. Karena a x2
+ b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya
titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).
D > 0 ® terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x1
, 0) dan (x2 , 0).
D = 0 ® terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.
D < 0 ® tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.
2)
Titik potong dengan sumbu-Y.
Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu
diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).
3)
Sumbu simetri
Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar
sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:
4)
Titik Puncak/ Balik
Koordinat titik puncak
Catatan:
- Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x2 + b x + c berbentuk parabola.
- Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
- Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.
Contoh:
Buatlah
sketsa grafik y = x2 – 2x – 3 untuk x
e R.
Jawab:
Titik potong
dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.
x2 – 2x – 3 = 0
(x –
3) (x + 1) = 0
x = 3 dan x
= –1
Koordinat
titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)
Titik potong
dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0
y = 0 – 0 –
3 = – 3
Koordinat
titik potongnya C(0 , –3)
Sumbu
simetri, garis
Titik puncak
® D(1 , –4)
Hubungkan
titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga
diperoleh grafik fungsi
y = x3 – 2x – 3.
Latihan 6
- Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat berikut ini, dengan sumbu koordinat:
a. y = x2 – 4x – 5
c. y = -2x2 + 5x – 3
- y = x2 + 4x + 4 d. y = 2x2 – 5x + 4
2. Tentukan koordinat titik
puncak/balik grafik fungsi pada soal no. 1 di atas!
3. Grafik fungsi kuadrat y = 2x2
– px + 3 mempunyai sumbu simetri garis x = 2. Tentukan
koordinat titik puncak !
4. Gambarlah sketsa grafik fungsi
kuadrat berikut ini dengan langkah-langkah:
a. y = x2 – 6x + 8
d. y = x2 – 2
- y = (x – 5)2 e. y = –x2 + 3
- y = 16 – x2 f. y = x2 + 2x + 2
4.
Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi
Syarat-syarat Tertentu
Suatu fungsi
kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:
- melalui tiga titik yang berlainan.
- memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
- melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
- menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.
- a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan
persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2,
6 ).
Jawab :
Misal
persamaan grafik adalah y = a x2 + b x
+ c
Grafik
melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–1)2 + b
(–1) + c
0 = a
– b + c ………………. (1)
Grafik
melalui titik (1 , 8) ® 8 =a (1)2 + b
(1) + c
8 = a
+ b + c ………………. (2)
Grafik
melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)2 + b
(2) + c
6 = 4 a
+ 2 b + c …………… (3)
Dari
persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c
dengan cara eliminasi.
(1)
a – b + c = 0 (2) a
+ b + c =
8
a – b + c = 0
(2)
a + b + c =
8
(3) 4a + 2b + c =
6
–2 – 4 + c = 0
–2b =
–8
3a – b
=
2
c = 6
b =
4
– 3a
– 4 = 2
a = –2
Jadi, fungsi
kuadrat itu adalah y = –2x2 + 4x +
6.
b.
Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X
Misalkan
titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).
(p ,
0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 +
b x + c sehingga 0= ap2 + bp +
c dan
0= aq2
+ bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan
diperoleh:
0 = a(p2
– q2) + b(p – q)
b(p – q) = –a(p2 – q2)
= –a(p + q) (p – q)
b = – a(p + q)
Substitusikan
b = – a(p + q) ke ap2
+ bp + c = 0
ap2 + (– a(p + q))
p + c = 0
ap2 – ap2 – pqa
+ c = 0
c = pqa
Untuk b
= – a(p + q) dan c = pqa maka
y = a x2 + b
x + c Û y = ax2 – a(p
+ q)x + pqa
= a(x2 – (p + q)x
+ pq)
= a(x
– p) (x – q)
Jadi, y
= a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat
yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).
Contoh:
Tentukan
fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta
melalui titik (–3, –8) !
Jawab:
Grafik
memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x – (–5)) (x
– 1)
= a(x + 5) (x – 1)
Grafik
melalui titik (–3, –8), berarti
–8 = a(–3+5)
(–3 – 1)
= –8a
a = 1
Substitusikan
a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1)
sehingga diperoleh y = x2 + 4x – 5.
Jadi, fungsi
kuadratnya adalah y = x2 + 4x – 5.
c.
Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu
diketahui
Koordinat
titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2
+ bx + c adalah .
Dengan
melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2
+ bx + c dapat
dinyatakan
dengan .
Sehingga
fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y
= a (x – p)2 + q
Contoh:
Tentukan
fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik
(0,0).
Jawab:
Fungsi
kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x –
1)2 + 3
Grafik
melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0
– 1) + 3
0 = a
+ 3
a = –3
Substitusikan
a = –3 pada y = a (x – 1)2 + 3 maka
diperoleh
y = –3 (x – 1)2 + 3
y = –3 (x2 – 2x
+ 1) + 3
y = –3x2 + 6x
Jadi, fungsi
kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.
d.
Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan
kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan
menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0,
maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi
kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .
Sehingga
fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x
– p)2
Contoh:
Tentukan
fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui
titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi
kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)2
Grafik
melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0
– 2)2 = 4a
a = 1
Jadi, fungsi
kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau y = x2
– 4x + 4.
Latihan 7
- Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (–2, 12), (1, –3), dan (5, 5) !
2. Tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya melalui titik (3, –2), (5, 4), dan (1,-1 !
3. Tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0), dan (4, 0) serta melalui titik (0,
2) !
4. Tentukan fungsi kuadrat yang
grafiknya memotong sumbu-X di titik (4, 0) dan (1, 0) serta melalui titik (2,
–2)
5. Koordinat titik puncak grafik fungsi
kuadrat adalah (–1, 1). Tentukan fungsi kuadrat itu jika grafiknya melalui
titik (0, 1) !
6. Koordinat titik puncak grafik fungsi
y = ax2 + bx + 5 adalah (4, 9). Tentukan fungsi
kuadratnya!
7. Suatu parabola menyinggung sumbu-X
di titik (–2, 0) dan melalui titik (0, –1). Tentukan persamaan parabola!
8. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai
nilai tertinggi –3 untuk x = 2, sedangkan grafiknya melalui titik (–2,
–11). Tentukan fungsi kuadratnya!
9. Suatu fungsi kuadrat, grafiknya
memotong sumbu-X di titik (2, 0) dan (5, 0), sedang fungsi itu mempunyai nilai
maksimum 9. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!
10. Grafik fungsi y = (p+3)2
– 2(p – 1)x + (2p – 5) mempunyai titik puncak yang
absisnya p. Tentukan fungsi kuadrat itu!
C. Pertidaksamaan
- Pertidaksamaan Linear
Berdasarkan
penyelesaiannya, pertidaksamaan linear terbagi menjadi :
1.
Pertidaksamaan
biasa, yaitu pertidaksamaan yang memiliki himpunan penyelesaian.
Contoh : 2 x + 3 < 5
2. Pertidaksamaan identik, yaitu
pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai peubah.
Contoh : x + 5 < 2x + 10
3. Pertidaksamaan palsu, yaitu pertidaksamaan
yang tidak mempunyai himpunan penyelesaian.
Contoh x + 8 < x + 4
Contoh 1 :
Tentukan
nilai x yang memenuhi 2 x + 4 > x + 3 !
Jawab :
2 x +
4 > x + 3
2 x –
x > 3 – 4
x > – 4
Contoh 2 :
Selesaikanlah
3 x + 5 < 5 x + 7 !
Jawab :
3 x +
5 < 5 x + 7
3 x –
5 x < 7 – 5
- 2 x
< 2
x > –1 (Catatan :
ruas kiri dan kanan dibagi dengan bilangan negatif,
tanda
pertidaksamaan berubah)
Latihan 8
Tentukan
nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :
- 4 x > 12 6. 2 x + 1 £ 5 x – 4
- – 2 x < 7 7. – 8 x + 2 ³ 5 x – 10
- 4 + 3 x ³ – 8
- 9 – 3 x £ 6
- 2 x + 3 £ x + 4
Tentukan
nilai-nilai x dengan kemungkinan-kemungkinannya !
- p x – p < 0 13. p x + q x < p + q
- a x £ a3 14. a x + 1 > x + a
Tentukan
nilai x yang memenuhi:
- 16
- Pertidaksamaan Kuadrat
Dalam
menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dilakukan langkah-langkah berikut :
- Jadikan ruas kanan nol.
- Uraikan ruas kiri atas faktor linear
- Tentukan nilai pembuat nol ruas kiri
- Buat garis bilangan dan tempatkan nilai pembuat nol ruas kiri pada garis bilangan
- Tentukan tanda-tanda ruas kiri pada garis bilangan.
- Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.
Contoh 1 :
Selesaikan x2
– 2x – 8 ³ 0 !
Jawab :
x2 – 2 x – 8 ³ 0
(x –
4 ) (x + 2) ³ 0
Garis
bilangan :
+ + + + +
| – - – - – - | + + + +
–2
4
Nilai x
yang memenuhi :
x £ –2 atau x
³ 4
Contoh 2 :
Selesaikan
3 x2 + 2 x < 3 – 6 x !
Jawab :
3 x2
+ 2 x < 3 – 6 x
3 x2
+ 2 x + 6 x – 3 < 0
3 x2
+ 8 x – 3 < 0
(3 x
– 1) (x + 3) < 0
Nilai
pembuat nol : 3x – 1 =
0
dan x + 3 = 0
3x =
1
x = –3
x =
Garis
bilangan
+ + +
+ | – - – - – - – - – | + + + + +
o
o
–3
Karena
permintaan adalah negatif, maka nilai x yang memenuhi adalah –3
< x <
Latihan 9
Tentukan
nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :
- x2 + x – 2 < 0 6. 15 – 7 x £ 2 x2
- x2 – 16 < 0 7. 4 x2 – 2 x ³ 3 + 3 x – 4 x2
- 9 – x2 > 0 8. 5 x2 + 15 x £ 2 (x + 3)
- x2 – x < 3 x 9. 3 – 2 x £ 9 x – 6 x2
- 2 x – x2 ³ 0 10. 2 x2 – 3 x – 5 ³ 0
Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat
Pada sub bab
terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx
+ c = 0 yaitu D = b2 – 4ac . Selain itu
dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Pada bagian
ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :
- jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
- tanda-tanda fungsi kuadrat
- garis dan parabola
a. Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali
akar-akar persamaan kuadrat
Hubungan
diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat
menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat serta dapat menentukan
koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang meme-nuhi syarat tertentu.
Bagan
berikut menunjukkan syarat-syarat yang harus dipebuhi oleh persamaan kuadrat
a x2 + b x + c = 0 , a ¹ 0
yang akar-akarnya x1 dan x2 .
a x2
+ bx + c = 0
a ¹ 0
D <
0
D = b2 – 4 a c D = 0
Akar
imajiner
Akar kembar
(x1
= x2)
x1 = 0 , x2 ¹
0 x1
= – x2 x1 =
x1
= + , x2 =
+ x1
= – , x2 = – x1 = – , x2
= + c = 0
berlawanan
kebalikan a, c tanda
sama a,b,c
tanda
a, c tanda
b = 0
a = c b
berbeda
sama
berbeda
Contoh 1 :
Tentukan
nilai p agar x2 – 2 p x + 2p + 15 = 0 mempunyai
:
- akar kembar
- kedua akar tandanya berlawanan
Jawab :
- x2 – 2 p x + 2p + 15 = 0 b. Syarat kedua akar tandanya berlawanan D > 0 ; x1 . x2 < 0
a = 1 , b = –2p dan c = 2p
+
15
b2 – 4 a c
>
0
x1 . x2
< 0
Agar kedua akar kembar, maka D =
0
(–2 p)2 – 4 . 1 . (2 p + 15)
> < 0
b2 – 4 a c =
0
4 p2 – 8 p – 60 >
0
2 p + 15 < 0
(–2 p)2 – 4 . 1 . (2 p
+ 15) =
0
p2 – 2 p – 15 >
0
2 p <
–15
4 p2 – 8 p – 50 =
0
(p – 5) (p + 3) >
0
p < –7
p2 – 2 p – 15 =
0
+ + + + – - – - – - – - - + + + + +
(p – 5) (p + 3) =
0
o
o
p = 5 atau p = –3
–3
5
Jadi nilai p adalah 5 dan –3
p < –3 atau p > 5
Latihan 10
1. Tentukan nilai p agar
persamaan berikut mempunyai dua akar yang sama !
- x2 + 2 p x + 4 = 0
- x2 + px + p + 3 = 0
2. Tentukan nilai p agar persamaan
berikut mempunyai akar akar real yang berlainan !
- x2 + p x + p = 0
- x2 – (p + 3) x + 2 p + 2 = 0
- p x2 + 3 x + p = 0
3. Tentukan nilai p agar (4 – p)
x2 + 11 x + p + 6 = 0 mempunyai akar
berkebalikan !
4. Persamaan x2 + (2 m
– 1) x + m2 – 3 m – 4 = 0 mempunyai akar
berlawanan. Tentukan nilai m !
5. Tentukan nilai m agar x2
+ 2 m x – m2 + 5 m – 6 = 0 mempunyai :
- dua akar berlawanan
- dua akar berlawanan tanda
- dua akar positif
b. Tanda-tanda fungsi kuadrat
Kedudukan
parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X
tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .
- Berdasarkan tanda a a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).
a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola
terbuka ke bawah).
- Berdasarkan tanda D = b2 – 4 a c
D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik
yang berlainan.
D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang
sama atau parabola menyinggung sumbu-X.
D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga
tidak menyinggung sumbu-X.
Dengan
menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh
kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:
Dengan
memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:
Fungsi
kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x2 +
b x + c = 0 , a ¹ 0.
Untuk a
> 0:
1)
D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) > 0 untuk x < x1 dan x
> x2
f(x) < 0 untuk x1< x
< x2
2)
D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1
maka f(x) = 0
3)
D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi
f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit
positif.
Untuk a < 0:
4)
D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1) (x – x2)
f(x) < 0 untuk x < x1 dan x
> x2
f(x) > 0 untuk x1< x < x2
5)
D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x1)2
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x1
maka f(x) = 0
6)
D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :
f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit
negatif.
Contoh 1:
Tentukan
batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x2
– 4 x – m + 2 definit positif.
Jawab:
f(x) = x2 –
4 x – m + 2
Syarat agar
fungsi kuadrat definit positif adalah a > 0 dan D
< 0.
a = 1 bilangan positif
D = (–4)2
– 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8
= 4 m + 8
D <
0 « 4 m + 8 < 0
m < –2
Jadi, agar f(x)
= x2 – 4 x – m + 2 definit positif, maka m
< –2
Contoh 2:
Tentukan
fungsi kuadrat yang hanya negatif bagi – 2 < x < 2 dan
grafiknya melalui titik (3, 10) !
Jawab:
Fungsi
kuadrat y = f(x)
y < 0 untuk –2 < x
< 2 berarti parabola terbuka ke atas.
y = a(x + 2) (x
– 2), melalui titik (3, 10) berarti
10 = a(3
+ 2) (3 – 2)
= 5a
a = 2
Jadi, y
= 2(x + 2) (x – 2) atau y = 2x2 –
8.
Latihan 11
1. Tentukan batas-batas x supaya
fungsi berikut ini negatif!
a.
y = x2
– 7x +
10
b. y = 6x2 – 5x –
6
c. y = 2x2 + x – 6
2. Tentukan nilai x agar fungsi
berikut ini positif!
a.
y = x2
– x –
2
b. y = –x2 + 2x +
8
c. y = 2x2 – 9x – 5
3. Tentukan batas-batas m supaya
y = x2 +6x + m positif untuk setiap
nilai m !
4. Tentukan batas-batas nilai p
supaya fungsi berikut ini definit positif !
5. y = x2 – 2px + 3p +
4
b. y = (p + 2)x2 – (2p + 1)x
+ (p – 2)
6. Tentukan nilai a supaya y
= (a – 1)x2 + 2ax + a tidak positif
untuk setiap harga x !
7. Tentukan fungsi kuadrat menjadi
negatif untuk –2 < x < 4 dan mempunyai minimum –6 !
8. Tentukan fungsi kuadrat yang hanya
positif untuk –1 < x < 2 dan melalui titik (0, 2) !
9. Diketahui dua buah fungsi yang
dinyatakan oleh f(x) = 3x2 + mx + 2m2 dan g(x) = x2 + 2mx + m2.
Jika grafik f(x) selalu di atas grafik g(x),
tentukan batas-batas m !
c. Persamaan Garis Singgung pada Grafik Fungsi
Parabola
Antara garis
lurus dan grafik fungsi kuadrat terdapat tiga hubungan, yaitu: v garis
memotong grafik v garis menyinggung grafikv garis tidak memotong
dan tidak menyinggung grafik. Koordinat titik potong antara garis y
= mx + n dan grafik fungsi kuadrat y = ax2 +
bx+c diperoleh dengan mencari nilai x dan y yang memenuhi
kedua persamaan tersebut.
Garis lurus ® y = mx + n
…(1)
Parabola ® y = ax2
+ bx + c …(2)
Persamaan
(1) disamakan dengan persamaan (2), maka diperoleh ax2
+ (b – m)x + c – n, merupakan persamaan
kuadrat dalam x, sehingga terdapat kemungkinan sebagai berikut:
1)
D > 0 mempunyai dua akar real berlainan yang berarti terdapat
dua titik potong atau garis memotong parabola.
2)
D = 0 mempunyai sebuah akar kembar, yang berarti mempunyai sebuah
titik persekutuan atau garis menyinggung parabola.
3)
D < 0 tidak mempunyai akar real, yang berarti garis tidak
memotong parabola.
Contoh 1:
Tentukan
koordinat titik potong garis y = x + 5 dengan
parabola y = x2 – 3x.
Jawab:
y = x + 5 dan y = x2 – 3x
disamakan
x + 5 = x2 – 3 x
Untuk x = 5 maka y = 5 + 5 = 10
x2 – 4 x – 5 =
0
Untuk x = –1 maka y = –1 + 5 = 4
(x – 5) (x + 1) = 0
x = 5 dan x = –1
Jadi,
koordinat titik potong antara garis y = x + 1 dan
parabola y = x2 – 3x
adalah
(5, 10) dan (–1, 4).
Contoh 2:
Tentukan
nilai m, supaya garis y = x + m menyinggung
parabola y = x2 – 2 .
Jawab:
y = x + m dan y = x2 –
2 disamakan
x + m = x2 –
2
x2 – 2x – 2m – 2 = 0
Syarat
supaya bersinggungan: D = 0.
D = (-2)2
– 4 . 1 (2m – 2) = 0
4 + 8m
+ 4 = 0
8m =
–8
m = –1
Jadi, agar
garis menyinggung parabola maka m = –1.
Latihan 12
- Tentukan koordinat titik potong antara garis dengan parabola berikut ini :
- y = x + 1 dan y = x2 – x – 2
- y = 3x – 8 dan y = x2 – 3x
- y = –2x + 9 dan y = 2x2 – 4x + 7
- Tentukan nilai m supaya garis y = mx + 1 menyinggung parabola !
- Tentukan persamaan garis yang melalui (0, -1) dan menyinggung parabola y = x2 !
- Ditentukan parabola dan garis y = x – 2 :
- Tentukan koordinat titik potong antara garis dan parabola.
- Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik potong itu.
- Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (1, 2) dan menyinggung garis y = x !
- Tentukan m supaya garis y = mx +2 menyinggung parabola y = mx2 + x + 4 !
- Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y = x2 + 2 yang sejajar dengan garis x – 2y – 4 = 0 Tentukan pula koordinat titik singgungnya!
- Fungsi kuadrat y = (m + 3)x2 – (3m + 3)x + (m – 5) grafiknya melalui titik asal. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola itu yang melalui titik asal !
- Fungsi kuadrat y = x2 + (m + 2) x + 2 m – 4 grafiknya selalu melalui sebuah titik yang tidak tergantung pada nilai m. Tentukanlah titik tersebut !
- Tentukan dua buah titik tetap yang selalu dilalui fungsi kuadrat y = m x2 +(3 m – 2 ) x + 2 – 3 m !
- Pertidaksamaan Pangkat Tinggi
Hal-hal yang
perlu diperhatikan dalam pertidaksamaan pangkat tinggi :
- Jadikan ruas kanan nol.
- Faktorkan ruas kiri
- Bila terdapat definit positif, definit tersebut dapat dihilangkan begitu saja, tetapi bila terdapat definit negatif, definit ini bisa dihilangkan apabila tanda pertidaksamaan diubah menjadi lawan dari tanda mula-mula.
- Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan ganjil, maka tidak ada pengaruh apa-apa pada pertidaksamaan.
- Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan genap, maka pada garis bilangan akan terdapat pengulangan tanda (mengikuti tanda di sebelah kanannya)
Contoh 1 :
Tentukan
nilai x yang memenuhi: (x – 1)2 (x + 2)3
(x – 3) > 0 !
Jawab
: (x – 1)2
(x + 2)3 (x – 3) > 0
+ + + + +
| – - – - – - - | – - – - - | + + + + +
–2
1
3
Jadi nilai x
yang memenuhi adalah: x < – 2
atau x > 3
Contoh 2 :
Selesaikan
: (2 – x)5 (x + 3) (x2 + x
+ 1) > 0 !
Jawab
: x2 + x
+ 1 adalah definit positif
Sehingga
pertidaksamaan itu dapat ditulis menjadi :
(2 – x)5
(x + 3) > 0
- – - – - –
- | + + + + + | – - – - – -
–3
2
Nilai x
yang memenuhi adalah : –3 < x < 2
Latihan 13
Tentukan
nilai x yang memenuhi :
- (x2 – 3 x + 5) (x + 2) (x – 1) < 0 6. (-2 + 3 x – 4 x2) (x + 4) (x – 3) < 0
- (x – 1) (x + 2) (x – 3) (x + 4) ³ 0 7. (x + 10)5 (x – 7)2 (x + 5)2 £ 0
- (x + 1) (2 – x) (x + 3) £ 0 8. x4 – 13 x2 + 36 ³ 0
- (x – 5) (x +1)2 (x + 3 > 0 9. x (x2 – x – 2) (15 – 2x – x2) > 0
- (2 – x)2 (x + 3)5 (x – 1) < 0 10. (x2 – 2 x – 3) (x2 + 4 x + 3) £ 0
- Pertidaksamaan Pecahan
Dalam
menyelesaikan pertidaksamaan pecahan perlu diingat bahwa :
- Hasil bagi dua bilangan mempunyai tanda yang sama dengan hasil kali bilangan itu.
- Penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol
- Bila terdapat definit positif , definit positif dapat dihilangkan tanpa mempengaruhi pertidaksamaan, tetapi jika terdapat definit negatif, definit negatif dapat dihilangkan asalkan tanda pertidaksamaan
berubah
menjadi lawan dari tanda pertidaksa-maan mula-mula
Contoh 1 :
Selesaikan !
Jawab :
+ + +
+ – - – - – - – - – - + + + +
o
o
–2
3
Nilai x
yang memenuhi : x < –2 atau x > 3
Contoh 2 :
Selesaikan !
Jawab :
+ + + +
+ – - – - – - – - + + + +
o –3
1
Harga x
yang memenuhi adalah –3 < x £ 1 (ingat penyebut
tidak boleh nol)
Contoh 3 :
Tentukan
nilai x yang memenuhi: !
Jawab
:
Penyebut merupakan definit positif, jadi dapat diabaikan
x2 + 2x – 8 ³ 0
(x +
4) (x – 2) ³
0
+ + + + | – - – - – - – - | + + + +
–4
2
Nilai x yang memenuhi
adalah : x £ –4 atau x ³ 2
Latihan 14
Tentukan
nilai x yang memenuhi :
- 6.
- 7.
- 8.
- 9.
- 10.
- Pertidaksamaan Irasional
Cara
penyelesaian bentuk pertidaksamaan ini adalah :
- Bentuk bilangan di bawah tanda akar selalu lebih besar atau sama dengan nol
- Tanda akar dapat dihilangkan dengan mengkuadratkan
Contoh 1:
Selesaikan
!
Jawab
:
Syarat :
kuadratkan
2 x – 1 ³ 0
2 x –
1 <
9
2 x ³ 1
2 x
<
10
x ³ . . . . . (2)
x < 5 . . . . . .(1)
o 5
Jadi : £ x < 5
Contoh 2 :
Selesaikan
Jawab :
Syarat
I
Syarat II
kuadratkan
2 x – 10 >
0
2 – x ³ 0
2 x –
10 > 2 – x 2 x >
10
2 ³ x
2 x +
x > 2 +
10
x >
5
x £ 2
3 x
> 12
x >
4
2
4
5
Jadi tidak
ada nilai x yang memenuhi.
Contoh 3 :
Tentukan
nilai x yang memenuhi : !
Jawab :
Syarat
I
Syarat II
kuadratkan x + 3
>
0
12 – 2x ³ 0
x + 3 > 12 – 2 x x
>
–3
12 ³ 2x
x + 2 x > 12 –
3
x £ 6
3 x
> 9
x >
3
–3
3
6
Nilai x
yang memenuhi pertidaksamaan di atas : 3 < x £ 6.
Contoh 4 :
Selesaikan
Jawab :
Syarat :
kuadratkan
x2 + 2 x ³ 0
x2 + 2 x < x2
+ 6 x +
9
x (x + 2) ³ 0
2 x –
6 x <
9
+ + | – - – - – - -| + + +
–4 x
<
9
–2
0
x
>–2
x £ –2 atau x ³ 0 …2)
o
–2
–2
0
Hasil
penyelesaian : –2 < x £ –2 atau x
³ 0
Latihan 15
Tentukan
nilai x yang memenuhi :
- < 3 6.
- < 4 7. < x – 2
- < 5 8. < 15 – x
- 9.
- 10.
- Pertidaksamaan Nilai Mutlak.
Nilai mutlak
dari bilangan a ditulis | a | dan mempunyai nilai sebagai :
| a |
=
Contoh 1 :
| 70 | =
70
| – 70 | = – (– 70) = 70
| 0 | = 0
Pertidaksamaan
dengan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan mengkuadratkan
Contoh 2 :
Carilah
nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ; | x | £ a , a
positif !
Jawab
: | x | £ a
kuadratkan
x2 £ a2
x2 – a2 £ 0
(x – a)
(x + a)
£0
+ + + + – - – - – - – – + + + +
–a
a
Jadi
; – a £ x £ + a
Contoh 3 :
Tentukan
nilai x yang memenuhi | x | ³ a , a positif !
Jawab
: | x | ³ a
kuadratkan
x2 ³ a2
x2 – a2 ³ 0
(x – a)
(x + a) > 0
(x – a)
(x + a) ³
0
+ + + + – - – - – - – – + + + +
– a
a
Jadi
x £ – a atau x ³ a
Contoh 4 :
Selesaikan |
x – 4 | < 3
Jawab ;
Cara
I
Cara II
| x –
4 | <
3
Dari jawaban contoh 1, diperoleh:
kuadratkan
| x
– 4 | < 3
(x –
4)2 <
9
–3 < x – 4 < 3
x2 – 8 x + 16 <
9
Jadi 1 < x < 7
x2 – 8 x + 7 < 0
(x –
1) (x – 7) < 0
+ + + +
o – - – - – - o + + + + +
1
7
Jadi
1 < x < 7
Contoh 5 :
Selesaikan :
| x + 2 | > 5 !
Jawab :
Cara
I
Cara II
| x +
2 | >
5
Dari jawaban contoh 2, diperoleh
kuadratkan
| x + 2 | > 5
(x +
2)2 >
25
x + 2 < – 5 atau x + 2 > 5
x2 + 4 x + 4 >
25
x < –7 atau x > 3
x2 + 4 x – 21 > 0
(x +
7) (x – 3) > 0
+ + + +
o - – - – - – o + + + + +
-7
3
Jadi x
< -7
atau x > 3
Latihan 16
Selesaikan
pertidaksamaan berikut :
- | x | £ 4 6. | x2 – 5 | £ 4
- | x + 1 | > 2 7. | x2 – x – 1 | £ 1
- | x2 – 2 | > 1 8. | 2 x2 – 8 x – 1 | ³ 9
- | x2 – 4 x | > 0 9. £ 1
- | x2 – 1 | < 7 10. ³ 2
Tidak ada komentar:
Posting Komentar