GEOMETRI

                        GEOMETRI

Standar Kompetensi :

Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

Kompetensi Dasar :

·         Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

·         Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga.

·         Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.

 

A.  KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

     1.  Kedudukan titik terhadap garis

          Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah garis g, maka :

a.    Titik T teletak pada garis g, tau garis g melalui titik T

b.    Titik T berada diluar garis g, atau garis g tidak melalui titik T

2.    Kedudukan titik terhadap bidang

Jika diketahui sebuah titik T dan sebuah bidang H, maka :

a. Titik T terletak pada bidang H, atau bidang H melalui titik T

b.  Titik T berada diluar bidang H, atau bidang H tidak melalui titik T

3.  Kedudukan garis terhadap garis

     Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis h, maka :

a.    Garis g dan h terletak pada sebuah bidang, sehingga dapat terjadi :

·         garis g dan h berhimpit, g = h

·         garis g dan h berpotongan pada sebuah titik

·         garis g dan h sejajar

b.    Garis g dan h tidak terletak pada sebuah bidang, atau garis g dan h bersilangan, yaitu kedua garis tidak sejajar dan tidak berpotongan.

4.  Kedudukan garis terhadap bidang

     Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, maka :

a.    Garis g terletak pada bidang H, atau bidang H melalui garis g.

b.    Garis g memotong bidang H, atau garis g menembus bidang H

c.    Garis g sejajar dengan bidang H

5.    Kedudukan bidang terhadap bidang

Jika diketahui bidang V dan bidang H, maka :

a. Bidang V dan bidang H berhimpit

b.  Bidang V dan bidang H sejajar

c.  Bidang V dan bidang H berpotongan. Perpotongan kedua bidang berupa garis lurus yang disebut garis potong atau garis persdekutuan.

contoh:

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :

a.    Titik yang berada pada garis DF

b.    Titik yang berada diluar bidang BCHE

c.     Garis yang sejajar dengan CF

d.    Garis yang berpotongan dengan BE

e.    Garis yang bersilangan dengan FG

f.     Bidang yang sejajar dengan bidang BDG

Jawab :

a.    Titik D dan F

b.    Titik A, D, F, G

c.    DE

d.    EA, EF, ED, EH

e.    AB, DC, AE, DH

f.     AFH

B. JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG

1.  Menghitung jarak antara titik dan garis

     Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong garis tersebut secara tegak lurus.

 

2.    Menghitung jarak antara titik dan bidang

Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik diluar bidang sampai memotong tegak lurus bidang.

 

3.    Menghitung jarak antara 2 garis

a.    Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak

b.    Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik pada salah satu garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar yang lain.

 

c.    Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya tegak lurus pada kedua garis bersilangan itu.

4.    Menghitung jarak antara garis dan bidang

Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak antara salah satu titik pada garis tehadap bidang.

 

5.    Jarak antara dua bidang

Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak antara sebuah titik pada salah satu bidang ke bidang yang lain.

 

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara :

a.    Titik A ke H

b.    Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang)

c.    Titik A ke garis CE

d.    Titik A ke bidang BCGF

e.    Titik A ke bidang BDHF

f.     Titik A ke bidang BDE

g.    Garis AE ke garis CG

h.    Garis AE ke garis CG

i.     Bidang ABCD ke EFGH

 

Tugas I

1.  Diketahui kubus ABCD.EFGH denan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak antara :

     a.  Titik H ke garis AC

     b.  Titik B ke garis AG

     c.  Titik C ke BDG

     d.  garis AE dan CG

     e.  garis AB dan CDHG

     f.   bidang HFC dan DBE

2.  Diketahui balik PQRS.TUVW dengan PQ = 4 cm, QR = 3 cm, PT = 6 cm

     Hitung jarak antara :

a.    V ke RSTU

b.    Q ke PRVT

3.  Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB = 10 cm, TA = 12 cm. Hitung jarak antara :

     a.  titik B ke AT

     b.  titik T ke ABCD

     c.  titik A ke TBC

4.  Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak T ke bidang ABC.

C. PROYEKSI

     1. Proyeksi titik pada bidang

Jika titik A diluar bidang H, maka proyeksi A pada bidang H ditentukan sebagai berikut :

a.    Dari titik A dibuat garis g yang tegak lurus bidang H

 

b.    Tentukan titik tembus garis g terhadap bidang H, misalnya titik B. Proyeksi titik A pada bidang H adalah B.

 

2.    Proyeksi garis pada bidang

Menentukan proyeksi garis pada bidang sama dengan menentukan proyeksi dua buah titik yang terletak pada garis ke bidang itu, dan proyeksi garis tadi pada bidang merupakan garis yang ditarik dari titik-titik hasil proyeksi.

a.    Jika sebuah garis tegak lurus pada bidang maka proyeksi garis ke bidang itu berupa titik.

b.    Jika garis sejajar bidang maka proyeksi garis ke bidang merupakan garis yang sejajar dengan garis yang diproyeksikan.

Contoh :

Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 5 cm dan TA = 8 cm.

Hitunglah panjang proyeksi :

a.    TB pada bidang ABCD

b.    TB pada bidang TAC

 

a.    Proyeksi T pada bidang ABCD adalah titik O. Jadi proyeksi TB pada bidang ABCD = BO

BO = ½ .AC

     = ½

          = ½

          = ½

          =  cm

b.    Proyeksi TB pada bidang TAC = TO

TO =

     =

     =

     =  cm

Tugas II

1.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Tentukan dan hitung panjang proyeksi :

     a.  BG pada EFGH

     b. HF pada ACH

     c.  GO pada BDE (O titik potong AC dan BD)

2.  Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB = 10 cm dan tinggi limas 8 cm. Tentukan dan hitung panjang proyeksi :

     a.  TC pada ABCD

     b.  TA pada TBD

3.  Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P ditengah-tengah AB. Hitung panjang proyeksi :

     a. TB pada ABC

     b.  TP pada ABC

     c.  TB pada TPC

D. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG

1.  Sudut antara dua garis berpotongan

     Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip.

     Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang dibentuk adalah .

 

2.  Sudut antara dua garis bersilangan

     Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara dua garis berpotongan itu.

 

3.  Sudut antara garis dan bidang

     Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus bidang.

     Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada    
     bidang itu
 

4.  Sudut antara bidang dengan bidang

     Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling berpotongan.

     Untuk menentukannya sbb :

a.    Tentukan garis potong kedua bidang

b.    Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus garis potong kdua bidang

c.    Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada bidang pertama tadi.

d.    Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi

 

Contoh    :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan :

a.    Besar sudut antara BG dan bidang ABCD

b.    Cosinus sudut antara BH dan ABCD

Jawab :

 

a.    Sudut antara BG dengan ABCD adalah sudut CBG = 45⁰

b.    Cosinus sudut antara BH dengan ABCD adalah Cos DBH = 

 

Tugas III

1.  ABCD.EFGH adalah sebuah balok. Nyatakan dan gambarkan kemudian beri nama sudut antara :

     a.  CH dan ABCD

     b.  AG dan EFGH

     c.  BH dan CDHG

2.  T. ABCD adalah limas tegak beraturan. Panjang rusuk alas 4 cm dan panjang rusuk tegak 8 cm. Hitunglah :

     a.  Tan sudut antar TC dan ABCD

     b. Cos sudut antara TQ dan ABCD dimana Q titik tengah AD

3.  Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 6 cm dan TC =  cm. Hitung :

     a.  Cosinus sudut antara bidang ABCD dan TDC

     b.  Sinus sudut antara TAB dan TCD

4.  Diketahui limas segitiga T.ABC. TA tegak lurus bidang alas. Segitiga ABC siku-siku di B. Panjang AB = 6 cm, BC = 8 cm. Panjang TA = 24 cm. O titik tengah BC. Hitunglah :

     a.  Panjang AC, TC, AO

     b.  tan sudut antara TO dan bidang ABC